Cho khối chóp\(S.ABCD\)có \(SA\bot (ABCD)\); đáy\(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) với\(AB=BC=a;\)\(AD=2a\); \(SA=a\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\). Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ECD\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(O\) là trung điểm của \(CD\).
Kẻ tia \(Ox\parallel SA\) thì \(Ox\bot (ABCD)\).
Ta có: \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông \(CDE\) và \(Ox\bot (ABCD)\), nên \(Ox\) là trục của đường tròn \((CDE)\).
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,SC\).
Ta có: \(SM=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\); \(MC=\sqrt{M{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\) nên suy ra \(SM=MC\).
Do đó tam giác \(SMC\) cân tại \(M\), suy ra \(MN\bot SC\).
Dễ thấy \((MNO)//(SAD)\) và \(CE\bot (SAD)\) nên suy ra \(CE\bot (MNO)\) và do đó \(CE\bot MN\).
Vậy nên \(MN\bot (SEC)\), do đó \(MN\) là trục của đường tròn \((SEC)\).
Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(SO\) thì \(I\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ECD\).
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ECD\) là \(R=\sqrt{IC}=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{C}^{2}}}\).
Trong đó \(OC=\frac{a\sqrt{5}}{2}\) và \(IO=3NP=3.\frac{SA}{2}=\frac{3a}{2}\) (\(P\) là giao điểm của \(MO\) và \(AC\)).
Vậy thì \(R=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}\).
