Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của đoạn thẳng AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho \(A N=3 N C\). Tính tích vô hướng giữa \(\overrightarrow{D N}, \overrightarrow{M N}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{aligned} &\overrightarrow{D N}=\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A D}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A D}=\frac{3}{4}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})-\overrightarrow{A D} \\ &=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A D} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Măt khác }\\ &\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A M}=\frac{3}{4}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A D} \end{aligned}\)
Khi đó
\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } \overrightarrow{D N} \cdot \overrightarrow{M N}=\left(\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A D}\right)\left(\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}\right) \\ &\overrightarrow{D N} \cdot \overrightarrow{M N}=\frac{3}{16} A B^{2}-\frac{3}{16} A D^{2}=0(\text { vì } A B \perp A D \Rightarrow \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=0) \end{aligned}\)