Cho hình lăng trụ \(ABC.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều các điểm \(A,\,\,B,\,\,C.\) Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\). Tính theo a thể tích khối lăng trụ \(ABC.ABC\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Do A’A = A’B = A’C nên hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác \(ABC.\)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AA’, Khi đó (P) trùng (BCH).
Gọi M là trung điểm của BC thì MH \(\bot \) AA’ và góc \(A'AM\) nhọn, H nằm giữa AA’.
Thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi (P) là tam giác BCH.
\(\Delta ABC\) đều cạnh a nên \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2},AO=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Theo bài ra
\({{S}_{BCH}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\Rightarrow \frac{1}{2}HM.BC=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\Rightarrow HM=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
\(AH=\sqrt{A{{M}^{2}}-H{{M}^{2}}}=\sqrt{\frac{3{{a}^{2}}}{4}-\frac{3{{a}^{2}}}{16}}=\frac{3a}{4}\)
Do hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng nên \(\frac{A'O}{AO}=\frac{HM}{AH}\). suy ra \(A'O=\frac{AO.HM}{AH}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\frac{a\sqrt{3}}{4}\frac{4}{3a}=\frac{a}{3}\)
Thể tích khối lăng trụ: \(V=A'O.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}A'O.AM.BC=\frac{1}{2}\frac{a}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)
