Cho hình chữ nhật ABCD có \(A B=a \text { và } A D=a \sqrt{2}\) . Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Tính \(\overrightarrow{B K} \cdot \overrightarrow{A C}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Ta có: \(A C=B D=\sqrt{A B^{2}+A D^{2}}=\sqrt{2 a^{2}+a^{2}}=a \sqrt{3}\)
\(\left\{\begin{array}{l}
\overrightarrow{B K}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A K}=\overrightarrow{B A}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A D} \\
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}
\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{B K} \cdot \overrightarrow{A C}=\left(\overrightarrow{B A}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}\right)(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})\)
\(=\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{A D}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A D}=-a^{2}+0+0+\frac{1}{2}(a \sqrt{2})^{2}=0\)
