Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Biết \(\overrightarrow{M H} \cdot \overrightarrow{M A}=k B C^{2}\). Giá trị của k là?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có } \overrightarrow{A M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \text { và } \overrightarrow{H M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{H B}+\overrightarrow{H C}) \text { nên }\)
\(\begin{aligned} 4 \cdot \overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M H} &=4 \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{H M}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})(\overrightarrow{H B}+\overrightarrow{H C}) \\ &=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{H B}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{H C}+\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{H B}+\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{H C} \\ &=\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{H B}+\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{H C} \\ &=\overrightarrow{A B}(\overrightarrow{H C}+\overrightarrow{C B})+\overrightarrow{A C}(\overrightarrow{H B}+\overrightarrow{B C}) \\ &=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C B}+\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{C B}(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C})=C B^{2} . \end{aligned}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{M H} \cdot \overrightarrow{M A}=\frac{1}{4} B C^{2} \Rightarrow k=\frac{1}{4}\)