Tam giác ABC thỏa điều kiện \(\frac{h_{a}}{h_{b}}+\frac{h_{b}}{h_{c}}+\frac{h_{c}}{h_{a}}=\frac{h_{b}}{h_{a}}+\frac{h_{c}}{h_{b}}+\frac{h_{a}}{h_{c}}\) là tam giác gì?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saita có
\(\begin{aligned} & \frac{h_{a}}{h_{b}}+\frac{h_{b}}{h_{c}}+\frac{h_{c}}{h_{a}}=\frac{h_{b}}{h_{a}}+\frac{h_{c}}{h_{b}}+\frac{h_{a}}{h_{c}} \\ \Leftrightarrow & \frac{\frac{2 S}{\frac{a}{2 S}}{b}}+\frac{\frac{2 S}{b}}{\frac{2 S}{c}}+\frac{\frac{2 S}{\frac{c}{2 S}}}{a}=\frac{\frac{2 S}{b}}{\frac{2 S}{a}}+\frac{\frac{2 S}{c}}{\frac{2 S}{b}}+\frac{2 S}{\frac{a}{2 S}}{c} \\ \Leftrightarrow & \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\Leftrightarrow b^{2} c+c^{2} a+a^{2} b=a^{2} c+b^{2} a+c^{2} b \\ &\Leftrightarrow b^{2}(c-a)+c a(c-a)-b\left(c^{2}-a^{2}\right)=0 \\ &\Leftrightarrow(c-a)(b-c)(b-a)=0 \\ &\Leftrightarrow \quad\left[\begin{array} { l } { b - c = 0 } \\ { a - b = 0 } \\ { c - a = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} b=c \\ a=b \\ c=a \end{array}\right.\right. \end{aligned}\)
Vậy tam giác ABC cân
