Cho hình chóp \(S.ABCD\) với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, đáy nhỏ của hình thang là CD, cạnh bên \(SC=a\sqrt{15}\). Tam giác \(SAD\) là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy hình chóp. Gọi H là trung điểm cạnh AD, khoảng cách từ B tới mặt phẳng \(\left( SHC \right)\) bằng \(2\sqrt{6}a\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
\(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AD\\ SH \bot AD,SH \subset \left( {SAD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Ta có \(SH=\sqrt{S{{D}^{2}}-D{{H}^{2}}}=a\sqrt{3}, HC=\sqrt{S{{C}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\sqrt{15{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}=2\sqrt{3}a\).
\(CD=\sqrt{H{{C}^{2}}-H{{D}^{2}}}=\sqrt{12{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{11}\).
Ta có nên \(d\left( B,\left( SHC \right) \right)=BF=2\sqrt{6}a\).
\({{S}_{HBC}}=\frac{1}{2}BF.HC=\frac{1}{2}.2\sqrt{3}a.2\sqrt{6}a=6\sqrt{2}{{a}^{2}}\)
Đặt AB=x nên \({{S}_{AHB}}=\frac{1}{2}AH.AB=\frac{a}{2}.x\); \({{S}_{CDH}}=\frac{1}{2}DH.DC=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{2}\)
\({{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}\left( CD+AB \right)AD=\left( a\sqrt{11}+x \right)a\).
\({{S}_{AHB}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{CDH}}-{{S}_{BHC}}\)\(\Leftrightarrow \frac{a}{2}.x=\left( a\sqrt{11}+x \right)a-\frac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{2}-6\sqrt{2}{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=\left( 12\sqrt{2}-\sqrt{11} \right)a\).
\({{S}_{ABCD}}=\left( a\sqrt{11}+\left( 12\sqrt{2}-\sqrt{11} \right)a \right)a=12\sqrt{2}{{a}^{2}}\).
Vậy \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.12\sqrt{2}{{a}^{2}}=4\sqrt{6}{{a}^{3}}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho lăng trụ tam giác đều \(ABCD.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng a. M là trung điểm cạnh \(AB.\) Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với CB’, cắt các cạnh BC, CC’, AA’ lần lượt tại N, E, F. Xác định N, E, F và tính thể tích khối chóp \(C.MNEF.\)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a . Diện tích tam giác SBC bằng \(\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}\) Thể tích khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng \(a\sqrt 3 \). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Hình chiếu vuông góc của S trên AB là điểm H thỏa \(A H=2 B H\) . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
-
Cho hình lập phương có thể tích bằng 8. Diện tích toàn phần của hình lập phương là
-
Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng \({{a}^{3}}\). Tính độ dài của A’C.
-
Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 3 và độ dài đường cao bằng 4 là
-
Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A,D;AB=AD=2a,CD=a.\) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và \(\left( ABCD \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD,\) biết hai mặt phẳng \(\left( SBI \right),\left( SCI \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right).\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD.\)
-
Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là
-
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a , góc giữa $SB$ và (ABC) là \({30^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Cho lăng trụ \(A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\) có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết \(A^{\prime} O=a\) . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có SA=a và vuông góc với đáy ABC. Biết rằng tam giác ABC đều và mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) hợp với đáy \(\left( ABC \right)\) một góc \(30{}^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối chóp S.ABC.
-
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD, ABC và E là điểm đối xứng với B qua điểm D. Mặt phẳng \(\left( {MNE} \right)\) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V.
-
Cho hình hộp chữ nhật \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} \text { có } A B=a, A D=2 a, A C^{\prime}=\sqrt{6} a\) . Thể tích khối hộp bằng
-
Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3a2 và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối chóp bằng:
-
Thể tích của khối có 5 mặt hình chữ nhật, 4 mặt tam giác với kích thước được cho như hình vẽ là
.png)
-
Cho tứ diện ABCD. Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ điện AB’C’D và khối tứ diện ABCD bằng:
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(AB=a\), \(AC=2a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( ABC \right)\) là trung điểm \(M\) của \(AC\). Góc giữa \(SB\) và đáy bằng \(60{}^\circ \). Thể tích \(S.ABC\) là bao nhiêu?
-
Cho hình hộp đứng \(ABCD.ABCD\) có đáy là hình thoi diện tích S1, các tứ giác ACC’A’ và BDD’B’ có diện tích lần lượt là S2, S3. Thể tích khối hộp \(ABCD.ABCD\) tính theo S1, S2, S3 là ?
