Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. M là một điểm bất kì bên trong tứ diện. Tổng khoảng cách từ M đến các mặt của khối tứ diện là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC). Ta có \( {V_{MBCD}} = \frac{x}{3}.{S_{BCD}},{V_{MCDA}} = \frac{y}{3}.{S_{CDA}},\)
\( {V_{MDAB}} = \frac{z}{3}.{S_{DAB}},{V_{MABC}} = \frac{t}{3}.{S_{ABC}}\)
Cộng lại ta thu được (chú ý rằng
\(\begin{array}{l} {S_{BCD}} = {S_{CDA}} = {S_{DAB}} = {S_{ABC}} = S\\ {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.(x + y + z + t).S.\\ \to (x + y + z + t) = \frac{{3{V_{ABCD}}}}{S} = h \end{array}\)
với h là độ dài đường cao của tứ diện đều ABCD. Ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}} {h = AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {A{B^2} - \frac{4}{9}B{M^2}} }\\ { = \sqrt {A{B^2} - \frac{4}{9}(B{C^2} - C{M^2})} }\\ { = \sqrt {{a^2} - \frac{4}{9}({a^2} - \frac{1}{4}{a^2})} = a\sqrt {\frac{2}{3}} } \end{array}\)
Vậy \( x + y + z + t = a\sqrt {\frac{2}{3}} \)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có \(A'ABC\) là hình chóp tam giác đều cạnh đáy \(AB=a\). Biết độ dài đoạn vuông góc chung của \(\text{AA }\!\!'\!\!\text{ }\) và \(BC\) là \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\). Tính thể tích khối chóp \(A'.BB'.C'C\)
-
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 2110. Biết A'M = MA; DN = 3ND'D; CP = 2PC'. Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằn
-
Cho (H) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích của (H).
-
Cho khối lăng trụ đứng ABC A' B' C' có đáy là tam giác đều cạnh a và \(A A^{\prime}=\sqrt{3} a\)3 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích khối chóp G.ABCD.
-
Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó bằng
-
Một hồ bơi hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh 50m. Lượng nước trong hồ cao 1,5m. Vậy thể tích nước trong hồ là:
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình lăng trụ trên. Tính S.
-
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, cạnh đáy bằng a. Gọi N, I lần lượt là trung điểm của AB, BC; góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và (ABC) bằng \({{60}^{o}}\). Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I?
-
Cho hình vuông ABCD có cạnh a, M là trung điểm của AD. Xét khối tròn xoay sinh bởi tam giác CDM (cùng các điểm trong của nó) khi quay quanh đường thẳng AB. Thể tích của khối tròn xoay đó bằng
-
Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3a2 và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối chóp bằng:
-
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
-
Thể tích V của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là:
-
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông có thể tích là V. Để diện tích toàn phần của lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ bằng:
-
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, M là trung điểm \(SC.\) Mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại P và Q.Khi đó tỉ số thể tích giữa khối SAPMQ và khối SABCD bằng :
-
Một hình chóp tam giác có đường cao bằng 100cm và các cạnh đáy bằng \(18cm,\,\,24cm,\,\,30cm.\) Thể tích của khối chóp bằng.
-
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết A'A = A'B = A'C = a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
-
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Tính thể tích khối tứ diện OABC.
-
Một khối lập phương có độ dài đường chéo bằng a√6a6. Tính thể tích khối lập phương đó.
