Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. M là một điểm bất kì bên trong tứ diện. Tổng khoảng cách từ M đến các mặt của khối tứ diện là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC). Ta có \( {V_{MBCD}} = \frac{x}{3}.{S_{BCD}},{V_{MCDA}} = \frac{y}{3}.{S_{CDA}},\)
\( {V_{MDAB}} = \frac{z}{3}.{S_{DAB}},{V_{MABC}} = \frac{t}{3}.{S_{ABC}}\)
Cộng lại ta thu được (chú ý rằng
\(\begin{array}{l} {S_{BCD}} = {S_{CDA}} = {S_{DAB}} = {S_{ABC}} = S\\ {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.(x + y + z + t).S.\\ \to (x + y + z + t) = \frac{{3{V_{ABCD}}}}{S} = h \end{array}\)
với h là độ dài đường cao của tứ diện đều ABCD. Ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}} {h = AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {A{B^2} - \frac{4}{9}B{M^2}} }\\ { = \sqrt {A{B^2} - \frac{4}{9}(B{C^2} - C{M^2})} }\\ { = \sqrt {{a^2} - \frac{4}{9}({a^2} - \frac{1}{4}{a^2})} = a\sqrt {\frac{2}{3}} } \end{array}\)
Vậy \( x + y + z + t = a\sqrt {\frac{2}{3}} \)
