Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại B, \(AB=a, BC=2a\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), mặt phẳng \(\left( SAG \right)\) tạo với đáy một góc \(60{}^\circ \). Thể tích khối tứ diện \(ACGS\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có: \({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.AB.BC={{a}^{2}}\)\(\Rightarrow {{S}_{\Delta ACG}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}}{3}\).
Gọi H là trung điểm của AB\(\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\).
Gọi N là trung điểm của BC, I là trung điểm của AN và K là trung điểm của AI.
Ta có \(AB=BN=a\)\(\Rightarrow BI\bot AN\)\(\Rightarrow HK\bot AN\).
Do \(AG\bot \left( SHK \right)\) nên góc giữa \(\left( SAG \right)\) và đáy là \(\widehat{SKH}=60{}^\circ \).
Ta có: \(BI=\frac{1}{2}AN=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)\(\Rightarrow HK=\frac{1}{2}BI=\frac{a\sqrt{2}}{4}\), \(SH=SK.\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{6}}{4}\).
Vậy \(V={{V}_{ACGS}}={{V}_{S.ACG}}=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{\Delta ACG}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{36}\).
