Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác cân, \(AB = AC = 2a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat {BAC} = {120^o}.\) Mặt phẳng (AB′C′) tạo với đáy một góc 60o. Thể tích khối lăng trụ bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi I là trung điểm của B′C′.
Trong tam giác A′B′C′ ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}} {B'{C^{\prime 2}} = A'{B^{\prime 2}} + A'{C^{\prime 2}} - 2.A'B'.A'C'.\cos \widehat {B'A'C'} = 4{a^2} + 4{a^2} - 2.2a.2a.cos{{120}^o} = 12{a^2}}\\ { \Rightarrow B'C' = 2\sqrt 3 a}\\ { \Rightarrow B'I = IC = \sqrt 3 a.} \end{array}\)
Trong tam giác A′B′I ta có \(A'I = \sqrt {A'{B^{\prime 2}} - B'{I^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}} = a.\)
Dễ dàng chứng minh được ˆA′IA=60o.Trong tam giác A′IA có \(A'A = A'I.\tan {60^o} = a.\sqrt 3 = \sqrt 3 a.\)
Thể tích lăng trụ đứng \(V = \frac{1}{2}B'C'.A'I.AA' = \frac{1}{2}.2a\sqrt 3 .a.a\sqrt 3 = 3{a^3}\left( {dvtt} \right).\)
