Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích \(V\left( {{m}^{3}} \right)\), hệ số k cho trước (k- tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy). Gọi \(x,y,h>0\) lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga. Hãy xác định \(x,y,h>0\) xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất. x,y,h lần lượt là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(x,y,h\left( x,y,h>0 \right)\) lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga.
Ta có: \(k=\frac{h}{x}\Leftrightarrow h=k\text{x}\) và \(V=xyh\Leftrightarrow y=\frac{V}{xh}=\frac{V}{k{{\text{x}}^{2}}}\).
Nên diện tích toàn phần của hố ga là:
\(S=xy+2yh+2\text{x}h=\frac{\left( 2k+1 \right)V}{k\text{x}}+2k{{\text{x}}^{2}}\)
Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ nhất khi \(x=\sqrt[3]{\frac{\left( 2k+1 \right)V}{4{{k}^{2}}}}\)
Khi đó \(y=2\sqrt[3]{\frac{2kV}{{{\left( 2k+1 \right)}^{2}}}},h=\sqrt[3]{\frac{k\left( 2k+1 \right)V}{4}}\)
