Một nhà sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích là 20lít. Cần phải thiết kế thùng sơn đó với bán kính nắp đậy là bao nhiêu (cm) để nhà sản xuất tiết kiện được vật liệu nhất?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐổi 20 lít = 20000cm3.
Gọi bán kính nắp đậy của thùng sơn là x (cm), x > 0, chiều cao của thùng sơn là h(cm)
Khi đó thể tích của thùng sơn là \(V = \pi {x^2}h = 20{\mkern 1mu} 000 \Rightarrow h = \frac{{20{\mkern 1mu} 000}}{{\pi {x^2}}}.\)
Diện tích toàn phần của thùng sơn là \({S_{tp}} = 2\pi xh + 2\pi {x^2} = \frac{{40{\mkern 1mu} 000}}{x} + 2\pi {x^2}\)
Để nhà sản xuất tiết kiệm được vật liệu nhất tức là Stp nhỏ nhất.
Ta có
\(\begin{array}{l} S' = - \frac{{40{\mkern 1mu} 000}}{{{x^2}}} + 4\pi x\\ S\prime = 0 \Leftrightarrow - \frac{{40000}}{{{x^2}}} + 4\pi x = 0 \Leftrightarrow 4\pi {x^3} = 40000 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{{10000}}{\pi } \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \sqrt[3]{{\frac{{10000}}{\pi }}}\\ x = - \sqrt[3]{{\frac{{10000}}{\pi }}} \end{array} \right. \end{array}\)
Bảng biến thiên:
.png)
Vậy bán kính nắp đậy là \(\sqrt[3]{{\frac{{10000}}{\pi }}}\) thì sẽ tiết kiệm vật liệu nhất.
