Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Trong (A′B′C′D′), gọi I,J lần lượt là giao điểm của EF với A′B′ và A′D′.
Trong (ADD′A′), gọi M=AJ∩D′D.
Trong (ABB′A′), gọi L=AI∩BB'.
Khi đó thiết diện của hình hộp khi cắt bởi (AEF) là ngũ giác AMFEL.
Khi đó (H) là khối đa diện chứ đỉnh A′ và \( {V_{\left( H \right)}} = {V_{A.A'IJ}} - {V_{M.D'JF}} - {V_{L.B'IE}}\)
Gọi V0 là thể tích khối tứ diện A.A′IJ. V là thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′
Vì EB′=EC′ và B′I//C′F nên \( IB' = FC' = \frac{{A'B'}}{2}\)
Do đó \( \frac{{IB'}}{{IA'}} = \frac{1}{3}\)
Mà: \(\begin{array}{l} BE'//A'J,\:B'L//AA' \Rightarrow \frac{{IL}}{{IA}} = \frac{{IE}}{{IJ}} = \frac{{IB'}}{{IA'}} = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow \frac{{{V_{I.ELB'}}}}{{{V_{I.JAA'}}}} = \frac{{IL}}{{IA}}.\frac{{IE}}{{IJ}}.\frac{{LE}}{{AJ}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = \frac{1}{{27}} \end{array}\)
Do đó \( {V_{I.ELB'}} = \frac{1}{{27}}{V_0}\)
Tương tự \( {V_{J.MFD'}} = \frac{1}{{27}}{V_0}\)
Gọi A′B′=a,B′C′=b, đường cao hạ từ A xuống (A′B′C′D′) là h thì \( IA' = \frac{3}{2}A'B' = \frac{{3a}}{2};A'J = \frac{3}{2}A'D' = \frac{{3b}}{2}\) và
\(\begin{array}{l} V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{A'B'C'D'}}h = abh.\sin \widehat {B'A'D'}\\ {V_0} = \frac{1}{3}{S_{A'IJ}}.h = \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}.\frac{{3a}}{2}.\frac{{3b}}{2}\sin \widehat {B'A'D'}} \right)h = \frac{3}{8}abh.\sin \widehat {B'A'D'}\\ \Rightarrow \frac{{{V_0}}}{V} = \frac{3}{8} \Rightarrow {V_0} = \frac{{3V}}{8} \end{array}\)
Vậy: \( {V_{(H)}} = {V_0} - \frac{2}{{27}}{V_0} = \frac{{25}}{{27}}{V_0} = \frac{{25}}{{27}}.\frac{{3V}}{8} = \frac{{25}}{{72}}V\)
