Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Trong (A′B′C′D′), gọi I,J lần lượt là giao điểm của EF với A′B′ và A′D′.
Trong (ADD′A′), gọi M=AJ∩D′D.
Trong (ABB′A′), gọi L=AI∩BB'.
Khi đó thiết diện của hình hộp khi cắt bởi (AEF) là ngũ giác AMFEL.
Khi đó (H) là khối đa diện chứ đỉnh A′ và \( {V_{\left( H \right)}} = {V_{A.A'IJ}} - {V_{M.D'JF}} - {V_{L.B'IE}}\)
Gọi V0 là thể tích khối tứ diện A.A′IJ. V là thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′
Vì EB′=EC′ và B′I//C′F nên \( IB' = FC' = \frac{{A'B'}}{2}\)
Do đó \( \frac{{IB'}}{{IA'}} = \frac{1}{3}\)
Mà: \(\begin{array}{l} BE'//A'J,\:B'L//AA' \Rightarrow \frac{{IL}}{{IA}} = \frac{{IE}}{{IJ}} = \frac{{IB'}}{{IA'}} = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow \frac{{{V_{I.ELB'}}}}{{{V_{I.JAA'}}}} = \frac{{IL}}{{IA}}.\frac{{IE}}{{IJ}}.\frac{{LE}}{{AJ}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = \frac{1}{{27}} \end{array}\)
Do đó \( {V_{I.ELB'}} = \frac{1}{{27}}{V_0}\)
Tương tự \( {V_{J.MFD'}} = \frac{1}{{27}}{V_0}\)
Gọi A′B′=a,B′C′=b, đường cao hạ từ A xuống (A′B′C′D′) là h thì \( IA' = \frac{3}{2}A'B' = \frac{{3a}}{2};A'J = \frac{3}{2}A'D' = \frac{{3b}}{2}\) và
\(\begin{array}{l} V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{A'B'C'D'}}h = abh.\sin \widehat {B'A'D'}\\ {V_0} = \frac{1}{3}{S_{A'IJ}}.h = \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}.\frac{{3a}}{2}.\frac{{3b}}{2}\sin \widehat {B'A'D'}} \right)h = \frac{3}{8}abh.\sin \widehat {B'A'D'}\\ \Rightarrow \frac{{{V_0}}}{V} = \frac{3}{8} \Rightarrow {V_0} = \frac{{3V}}{8} \end{array}\)
Vậy: \( {V_{(H)}} = {V_0} - \frac{2}{{27}}{V_0} = \frac{{25}}{{27}}{V_0} = \frac{{25}}{{27}}.\frac{{3V}}{8} = \frac{{25}}{{72}}V\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
-
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tính tỷ số thể tích của (H) và khối chóp M.ABC.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a, BC=2a, SA=2a, SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính theo a.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích khối chóp G.ABCD.
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Biết AB = a, AD = 2a, AA’ = 3a. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
-
Một hồ bơi hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh 50m. Lượng nước trong hồ cao 1,5m. Vậy thể tích nước trong hồ là:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, BC=2a, đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) và \(SA=3a\). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
-
Cho hình chóp S ABC . có đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích khối chóp bằng a3. Chiều cao của hình chóp đã cho bằng
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình lăng trụ trên. Tính S.
-
Cho hình lăng trụ \(ABC.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều các điểm \(A,\,\,B,\,\,C.\) Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\). Tính theo a thể tích khối lăng trụ \(ABC.ABC\)
-
Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CA. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SN bằng
-
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là \(10 \mathrm{cm}^{2}, 20 \mathrm{cm}^{2}, 32 \mathrm{cm}^{2}\) Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
-
Cho tứ diện ABCD có AB = 5, AC = 10, AD = 12 và đôi một vuông góc với nhau. Tính thể tích khối tứ diện.
-
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC
-
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có \(AC=a\sqrt{3};BC=3a,\widehat{ACB}={{30}^{0}}\). Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc \({{60}^{0}}\) và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh BC sao cho BC=3BH và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:
-
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E, F tương ứng là trung điểm của các cạnh A’A, C’C. Gọi M = (D'E) ∩ (DA), N = (D'F) ∩ (DC). Tính tỉ số giữa thể tích hình chóp D’.DMN và thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D'
-
Xét khối tứ diện ABCD có cạnh \(AB = 2\sqrt 3 \) và các cạnh còn lại đều bằng x. Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD bằng \(2\sqrt 2 \).
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, A B=A C=a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi I là trung điểm của BC, SI tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, cạnh huyền AC = \(a\sqrt 2 \), mặt bên (SAC) hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân đỉnh \(C\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right),SC=a,\overset{\wedge }{\mathop{SCA}}\,=\varphi .\) Xác định góc \(\varphi \) để thể tích khối chóp \(SABC\) lớn nhất.
