Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). I là trung điểm BB’. Mặt phẳng (DIC’) chia khối lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png.jpg)
Coi như khối lập phương có cạnh bằng 1.
Để giải bài toán này, ta phải xác định đúng thiết diện cắt bởi mặt phẳng \(\left( DIC' \right)\)
Lấy M là trung điểm AB thì IM là đường trung bình tam giác ABB’ nên \(IM//AB'//DC'\)
Suy ra bốn điểm \(I,M,C'D\) cùng thuộc một mặt phẳng \(\left( C'ID \right)\)
Thiết diện cắt bởi mặt phẳng \(\left( DIC' \right)\) là tứ giác \(C'DMI\)
Phần có thể tích nhỏ hơn là khối đa diện \(C'IBMDC\)
Để thuận tiện tính toán ta chia khối trên thành 2 phần là tứ diện IMBD và hình chóp DIBCC’.
\({{V}_{IMBD}}=\frac{1}{3}.IB.{{S}_{BDM}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.IB.DA.MB=\frac{1}{6}.\frac{1}{2}.1.\frac{1}{2}=\frac{1}{24}\)
\({{V}_{D.IBCC'}}=\frac{1}{3}.DC.{{S}_{IBCC'}}=\frac{1}{3}.DC.\frac{1}{2}.\left( IB+CC' \right).BC=\frac{1}{2}.1.\frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2}+1 \right).1.\frac{1}{4}\)
Suy ra thể tích khối có thể tích nhỏ hơn là \({{V}_{n}}={{V}_{IMBD}}+{{V}_{DIBCC'}}=\frac{1}{24}+\frac{1}{4}+\frac{7}{24}\)
Thể tích phần lớn hơn là \({{V}_{l}}={{V}_{ABCDA'B'C'D'}}-{{V}_{n}}=1-\frac{7}{24}=\frac{17}{24}\)
Vậy tỉ lệ cần tìm là \({{V}_{n}}:{{V}_{l}}=7:17\)
