Cho khối hộp đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB=a,AD=b,\widehat{BAD}=\alpha ;\) đường chéo \(AC'\) hợp với đáy góc \(\beta .\) Tính thể tích khối hộp đứng đã cho là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
\(V=ab\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab.c\text{os}\alpha }.\sin \alpha .\tan \beta \)
Ta có: \(CC'\bot \left( ABCD \right)\)
\(\Rightarrow \overset\frown{CAC'}=\beta \) là góc của \(AC'\) và mặt đáy \(\left( ABCD \right)\) .
Xét \(\Delta ABC\) , ta có: \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.c\text{os}\widehat{ABC}\)
\(={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab.c\text{os}\left( {{180}^{0}}-\alpha \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab.c\text{os}\alpha .\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab.c\text{os}\alpha }\)
Do đó ta có: \(CC'=AC.\tan \beta =\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab.c\text{os}\alpha }.\tan \beta \) .
Thể tích của hình hộp đứng: \(V={{S}_{ABCD}}.CC'=ab\sin \alpha .\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab.c\text{os}\alpha }.\tan \beta \)
\(V=ab\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab.c\text{os}\alpha }.\sin \alpha \text{.tan}\beta \)
