Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng 4, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SD,CD,BC.\) Thể tích khối chóp \(S.ABPN\) là \(x,\) thể tích khối tứ diện \(CMNP\) là \(y.\) Giá trị \(x,y\) thỏa mãn bất đẳng thức nào dưới đây:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
+ Gọi \(H\) là trung điểm \(AB.\)
Do \(\Delta ABC\) đều và \(\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\)
Xét \(\Delta ABC\) đều: \(SH=\frac{\sqrt{3}AB}{2}=2\sqrt{3}\)
+ Ta có: \({{S}_{ABPN}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{ADN}}-{{S}_{CND}}\)
\(=A{{B}^{2}}-\frac{AD.DN}{2}-\frac{CN.CP}{2}={{4}^{2}}-\frac{4.2}{2}-\frac{2.2}{2}=10\)
\(\Rightarrow {{V}_{S.ABPN}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABPN}}.SH=\frac{1}{3}.10.2\sqrt{3}=\frac{20\sqrt{3}}{3}\Rightarrow x=\frac{20\sqrt{3}}{3}\)
+ Gọi \(AN\cap HD=\left\{ K \right\}\) ta có \(MK\) là đường trung bình của \(\Delta DHS\)
\(\Rightarrow HK=\frac{1}{2}SH\Rightarrow {{V}_{CMNP}}=\frac{1}{3}.{{S}_{CNP}}.MK=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.CN.CP.\frac{1}{2}.SH=\frac{1}{3}.\frac{2.2}{2}.\frac{2\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\Rightarrow y=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
Thay vào các đáp án.
Chọn C.
