Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật; \(AB=a;\,AD=2a\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mp\(\left( ABCD \right)\) bằng \(45{}^\circ \). Gọi M là trung điểm của \(SD\). Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến \(\left( SAC \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi H là trung điểm đoạn AB\(\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\).
Xét \(\vartriangle BCH\) vuông tại B, có: \(CH=\sqrt{4{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\).
Xét \(\vartriangle SHC\) vuông cân tại H, có: \(SH=\frac{a\sqrt{17}}{2};\,SC=\frac{a\sqrt{34}}{2}\).
Xét \(\vartriangle SAH\) vuông tại H, có: \(SA=\sqrt{\frac{17{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}a\).
Xét \(\vartriangle ABC\) vuông tại B, có: \(AC=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}\).
\(\Rightarrow {{S}_{\vartriangle SAC}}=\frac{\sqrt{89}}{4}{{a}^{2}}\).
Ta có: \({{V}_{S.ABCD}}=V=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{3}\); \({{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{6}\).
\({{V}_{S.ACM}}=\frac{1}{2}{{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{12}\). Mà \({{V}_{S.MAC}}=\frac{1}{3}.d.{{S}_{\vartriangle SAC}}=\frac{\sqrt{89}}{12}{{a}^{2}}.d\)\(\Rightarrow d=\frac{a\sqrt{1513}}{89}\).
