Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng a. Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và song song \(BC\) và vuông góc với \(\left( SBC \right),\) góc giữa \(\left( P \right)\) với mặt phẳng đáy là \({{30}^{0}}.\) Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Tổng quát: Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a.\) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và song song \(BC\) và vuông góc với \(\left( SBC \right),\) góc giữa \(\left( P \right)\) với mặt phẳng đáy là \(\alpha \)
Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \({{V}_{S.ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\cot \alpha }{24}\)
Áp dụng bài này: \({{V}_{S.ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\cot {{30}^{0}}}{24}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}\)
+ \(\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\)
+ Gọi G là trọng tâm
+ Gọi \(\left( P \right)\cap \left( SBC \right)\text{=EF}\Rightarrow \text{EF//BC}\Rightarrow \left( P \right)\cap \left( SBC \right)\text{=Ax}\) với \(Ax//EF//BC\)
+ Gọi \(M\) là trung điểm \(BC,SM\cap EF=N\) .
Ta có: \(AM\bot BC,SG\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow AN\bot BC\Rightarrow AN\bot Ax\)
Mà \(\text{A}M\bot BC,BC//Ax\Rightarrow AM\bot \text{Ax}\Rightarrow \widehat{\left( \left( P \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{NAM}={{30}^{0}}\)
Ta có: \(\widehat{GSM}=\widehat{NAM}=\alpha \) (cùng phụ với \(\widehat{SMA}\) )
Xét \(\Delta SGM\) vuông tại \(G\) có: \(SG=GM.\cot \widehat{GSM}=\frac{1}{3}AM.\cot {{30}^{0}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{a}{2}\)
Vậy: \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SG=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}\)
