Cho khối hộp chữ nhật \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} \text { có } A A^{\prime}=a \sqrt{3}\) Biết rằng mặt phẳng (A'BC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 600 đường thẳng A'C hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 300 .Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Xác định: \(\left\{\begin{array}{l} 30^{0}=\left(\overrightarrow{A^{\prime} C,(A B C D)}\right)=\left(\overrightarrow{A^{\prime} C, A C}\right)=\widehat{A^{\prime} C A} \\ 60^{\circ}=\left(\overline{\left(A^{\prime} B C\right),(A B C D)}\right)=\left(\widehat{A^{\prime} B, A B}\right)=\widehat{A^{\prime} B A} \end{array}\right.\)
Ta có\(\left\{\begin{array}{l} A B=A A^{\prime} \cdot \cot \widehat{A^{\prime} B A}=a \\ A C=A A^{\prime} \cdot \cot \widehat{A^{\prime} C A}=3 a \end{array} \Rightarrow B C=\sqrt{A C^{2}-A B^{2}}=2 a \sqrt{2}\right.\)
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật
\(V_{A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}=A A^{\prime} . A B \cdot B C=2 a^{3} \sqrt{6}\)
