Cho hình chóp \(S.ABC\) có tam giác ABC vuông cân tại B, \(AC=a\sqrt{2},\text{ }\)mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) vuông góc với mặt đáy\(\left( ABC \right)\). Các mặt bên \(\left( SAB \right)\), \(\left( SBC \right)\) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng \(60{}^\circ \). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có: \(\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)\) và \(\left( SAC \right)\cap \left( ABC \right)=AC\).
Trong mặt phẳng \(\left( SAC \right)\), kẻ \(SH\bot AC\) thì \(SH\bot \left( ABC \right)\).
Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB và AC thì \(\left( \widehat{\left( SAB \right),\,\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SIH}\) và \(\left( \widehat{\left( SAC \right),\,\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SKH}\).
Mà \(\widehat{SIH}=\widehat{SKH}=60{}^\circ \) nên HI=HK \(\Rightarrow \) tứ giác BIHK là hình vuông \(\Rightarrow H\) là trung điểm cạnh AC.
Khi đó tứ giác BIHK là hình vuông cạnh \(\frac{a}{2}\) và \(SH=HI.\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Vậy \({{V}_{SABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SH\) \(\Leftrightarrow {{V}_{SABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\).
