Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác vuông tại \(S\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD. Biết rằng \(SA=2a\sqrt{3}\) và \(SC\) tạo với đáy một góc bằng \(30{}^\circ \). Tính theo a thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
\(S{{H}^{2}}=HD.HA=3H{{D}^{2}}\Rightarrow SH=\sqrt{3}HD\)
Có: \(\left\{ \begin{array}{l} \tan \widehat {SDH} = \frac{{SH}}{{DH}} = \sqrt 3 \\ \tan \widehat {SDH} = \frac{{SA}}{{SD}} \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{SA}}{{SD}} = \sqrt 3 \Rightarrow SD = \frac{{SA}}{{\sqrt 3 }} = 2a \Rightarrow DA = \sqrt {S{D^2} + S{A^2}} = 4a\).
DH=\frac{1}{4}DA=a\).
Tam giác \(SHC\) có \(\tan \widehat{SCH}=\frac{SH}{HC}\Rightarrow \tan 30{}^\circ =\frac{SH}{HC}\Rightarrow HC=\frac{SH}{\tan 30{}^\circ }=3a\).
Tam giác DHC có \(DC=\sqrt{D{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=2\sqrt{2}a\)
Vậy \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.AD.DC=\frac{1}{3}.\sqrt{3}a.4a.2\sqrt{2}a=\frac{8\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}\).
