Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = a,\,AD = 2a\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi M là trung điểm của \(AD \Rightarrow \) tứ giác ABCM là hình vuông \( \Rightarrow MA = MD = MC\), khi đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD \Rightarrow AC \bot DC\).
Kẻ \(AH \bot SC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot AH\).
Có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\).
Hình chiếu vuông góc của AC lên mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) là HC cho nên:
\(\left( {AC,\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {AC,HC} \right) = \widehat {HCA} = \widehat {SCA}\)
Trong tam giác vuông ABC ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)
Trong tam giác vuông SAC ta có:
\(\tan \varphi = \tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\varphi }} = 1 + {\tan ^2}\varphi = \frac{3}{2} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
