Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên AA’ = 2a. Gọi N là trung điểm của BB’ và \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AN và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(P = A’B \cap AN\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AN và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\), khi đó \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {A’BC} \right)} \right)}}{{AP}}\)
Kẻ \(AM \bot BC\) và \(AH \bot A’M\).
Ta có
\(BC \bot \left( {A’AM} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot A’M\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A’BC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A’BC} \right)} \right) = AH\).
Ta có \(AM = \sqrt {A{B^2} – B{M^2}} = \sqrt {{a^2} – \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).
Trong tam giác vuông A’AM có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A’}^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2\sqrt {57} }}{{19}}a\).
Ta có \(\frac{{PN}}{{PA}} = \frac{{NB}}{{AA’}} = \frac{1}{2} \Rightarrow PA = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3}\sqrt {A{B^2} + B{N^2}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}a\).
Khi đó \(\sin \varphi = \frac{{AH}}{{AP}} = \frac{{3\sqrt {114} }}{{38}} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\sqrt {418} }}{{38}}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC=a . Hình chiếu vuông góc của S lên (A B C) trùng với trung điểm BC . Biết SB=a . Tính số đo của góc giữa SA và (A B C)?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm \(S A \perp(A B C D)\). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 5 \). Gọi M là trung điểm của SB. Tính góc giữa đường thẳng CM và \(\left( {ABCD} \right)\)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hình chiếu của S lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm H sao cho \(2\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} = \overrightarrow 0 \). Góc giữa đường thẳng SB và đáy bằng \({45^0}\). Tính cos góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
-
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc.
Khằng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng AC và C’D’ bằng:
.png)
-
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
Cho tứ diện ABCD có \(A B=A C \text { và } D B=D C\) . Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết \(S A=S C, S B=S D\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
-
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O và SA = SC, SB= SD. Đường thẳng BC vuông góc với đường thẳng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết \(S A=S C \text { và } S B=S D\) . Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính \({\mathop{\rm Cos}\nolimits} in\) giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng \(\left( {ABB’A’} \right)\)
-
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc. Đường thẳng AB vuông góc với?
-
Cho hình chóp S ABC . có cạnh \(S A \perp(A B C)\) và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây có thể sai ?
-
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có \(AB = \sqrt 3 \) và AA’ = 1. Góc tạo bởi giữa đường thẳng AC’ và \(\left( {ABC} \right)\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu H của S trên ( ABC) là:
-
Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Tính cos góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\)
-
Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Nếu I là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC) thì I là:
-
Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, các tam giác SAB và SBC lần lượt là các tam giác vuông tại A và C. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên \(\left( {ABC} \right)\) và M là trung điểm của đoạn AB. Tính cos góc giữa đường thẳng HM mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)
-
Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và \(S A \perp(A B C D)\). Biết \(S A=\frac{a \sqrt{6}}{3}\) . Tính góc giữa SC và (ABCD)?
