Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, các tam giác SAB và SBC lần lượt là các tam giác vuông tại A và C. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên \(\left( {ABC} \right)\) và M là trung điểm của đoạn SA. Tính góc giữa đường thẳng HM mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Không mất tính tổng quát, giả sử AB = BC = 1.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}BA \bot HA\\BA \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BA \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BA \bot AH\) (1)
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SC\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow BC \bot HC\) (2).
Từ (1) và (2) và từ giả thiết \(\Delta \,ABC\) vuông cân tại \(B \Rightarrow ABCH\) là hình vuông.
Ta có \(\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,HA} \right) = \widehat {SAH} = 45^\circ \)
\( \Rightarrow SH = AH.\tan 45^\circ = 1\) và \(SA = \frac{{AH}}{{\cos 45^\circ }} = \sqrt 2 \).
Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAH} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\), khi đó d là đường thẳng qua S và song song với AH.
Gọi \(I = HM \cap d \Rightarrow I = HM \cap \left( {SBC} \right)\).
Khi đó nếu gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng HM và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) thì \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{HI}} = \frac{{d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}}\).
Kẻ \(HK \bot SC,\,\,K \in SC \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HK = \frac{{SH.HC}}{{\sqrt {S{H^2} + H{C^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 30^\circ \).
