Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính \(\cos in\) góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng \(\left( {A’CD} \right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Giả sử cạnh của hình lập phương bằng 1.
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng \(\left( {A’CD} \right)\), khi đó \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {A’CD} \right)} \right)}}{{AC}}\).
Kẻ \(AH \bot A’D,\,\,H \in A’D\), ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot AA’\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {A’AD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot CD\\AH \bot A’D\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A’AD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A’AD} \right)} \right) = AH\)
Trong tam giác vuông A’AD ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}} = 2 \Rightarrow AH = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt 2 \)
Khi đó, \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {A’CD} \right)} \right)}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(\sqrt 6 \) và cạnh bên bằng 2. Khi đó góc giữa cạnh bên và đáy bằng
-
Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì:
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên AA’ = 2a. Gọi N là trung điểm của BB’ và \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AN và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)
-
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD; góc BAC bằng góc BAD bằng 60o60o. Gọi M, N là trung điểm của AB và CD.
Đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng
-
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD) Tam giác SBC là:
-
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định C và D là?
-
Cho hình lập phương \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa AC ' và mp (A'BCD') . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính tan giữa đường thẳng A’C và mặt đáy.
-
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB:
-
Mệnh đề nào sau đây có thể sai?
-
Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Tính cos góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\)
-
Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
-
Cho hình chóp \(S . A B C D \text { có } S A \perp(A B C D) \text { và } \Delta A B C\) vuông ở B , AH là đường cao của \(\Delta S A B .\) . Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều.Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)?
-
Cho một điểm S có hình chiếu H trên mặt phẳng (P). Với điểm M bất kì trong (P) ta có:
-
Cho tứ diện ABCD . Vẽ \(A H \perp(B C D)\) . Biết H là trực tâm tam giác BCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a, AB vuông góc với (BCD) và AB = 2a.
Tan của góc giữa CM với mặt phẳng (BCD) bằng:
-
Cho tứ diện ABCD có \(A B=A C \text { và } D B=D C\) . Khẳng định nào sau đây đúng?
