Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính \(cosin\) góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng \(\left( {A’CD} \right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Giả sử cạnh của hình lập phương bằng 1.
Gọi \(N = AM \cap CD\) và \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng \(\left( {A’CD} \right)\), khi đó
\(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {A’CD} \right)} \right)}}{{AN}}\).
Kẻ \(AH \bot A’D,\,\,H \in A’D\), ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot AA’\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {A’AD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot CD\\AH \bot A’D\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A’AD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A’AD} \right)} \right) = AH\).
Trong tam giác vuông A’AD ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}} = 2 \Rightarrow AH = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Ta có \(\frac{{MN}}{{AN}} = \frac{{MC}}{{AD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AN = 2MN = 2AM = 2\sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = 2\sqrt {{1^2} + \frac{1}{4}} = \sqrt 5 \).
Khi đó, \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {A’CD} \right)} \right)}}{{AN}} = \frac{{AH}}{{AN}} = \frac{1}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\)
