Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Tính cos góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Giả sử tất cả các cạnh của hình chóp S.ABCD đều bằng 1.
Gọi O là tâm cua đáy \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right) \Rightarrow \sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{SA}}\).
Gọi N là trung điểm của CD và kẻ \(OH \bot SN,\,\,H \in SN\).
Ta có \(CD \bot \left( {SON} \right) \Rightarrow CD \bot OH\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot CD\\OH \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).
Lại có \(SO = \sqrt {S{A^2} – O{A^2}} = \sqrt {1 – \frac{1}{2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và \(ON = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}\).
Trong tam giác vuông SON ta có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{SO.ON}}{{\sqrt {S{O^2} + O{N^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Vậy \(\sin \varphi = \frac{{2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2.OH}}{{SA}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng AC và C’D’ bằng:
.png)
-
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD
Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng
-
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a, AB vuông góc với (BCD) và AB = 2a.
Tan của góc giữa AC với mặt phẳng (ABD) bằng:
-
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính góc giữa đường thẳng A’M và mặt phẳng đáy
-
Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
-
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tính \(\cos in\) góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\)
-
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a. Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, các tam giác SAB và SBC lần lượt là các tam giác vuông tại A và C. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên \(\left( {ABC} \right)\) và M là trung điểm của đoạn AB. Tính cos góc giữa đường thẳng HM mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết \(S A=S C, S B=S D\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, Gọi H là trung điểm của AB và \(S H \perp(A B C D)\). Gọi K là trung điểm của cạnh AD . Khẳng định nào sau đây là sai?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết \(S A=S C \text { và } S B=S D\) . Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xác định góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)
-
Cho hình lập phương \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa AC ' và mp (A'BCD') . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Cho hình chóp S.ABCD có \(S A \perp(A B C D)\) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm của ABCD và I là trung điểm của SC . Khẳng định nào sau đây sai ?
-
Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều.Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)?
-
Cho tứ diện ABCD có \(A B=A C \text { và } D B=D C\) . Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật, \(S A \perp(A B C D)\). Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông.
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC=a . Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho \(S A=\frac{a \sqrt{6}}{2}\) . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (A B C).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của 2 đường chéo và SA= SC . Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
