Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng \(a\sqrt2\)  . Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng \(Q = MA^2 + MB^2 + MC^2+ MD^2+ MS^2\)  nhỏ nhất. Gọi V₁ là thể tích của khối chóp S.ABCD và V₂ là thể tích của khối chóp M.ACD. Tỉ số \( \frac{{{V_2}}}{{{V_1}}}\)

Gọi I là điểm thỏa mãn \( \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IS} = \vec 0\)

Ta có

\(\begin{array}{l} Q = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} + M{S^2}\\ Q = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {ID} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IS} } \right)^2}\\ Q = 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IS} } \right) + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + I{D^2} + I{S^2}\\ Q = 5M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + I{D^2} + I{S^2} \end{array}\)

Do các điểm I,A,B,C,D,S cố định nên \(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2+IS^2\) không đổi, do đó \(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2+IS^2\)

Khi đó M là hình chiếu của I lên (SCD) hay MI⊥(SCD).

Gọi O=AC∩BD ta có SO⊥(ABCD) và:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IS} = \vec 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} } \right) + \overrightarrow {IS} = \vec 0\\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IO} + 2\overrightarrow {IO} + \overrightarrow {IS} = 0 \Leftrightarrow 4\overrightarrow {IO} = \overrightarrow {IS} \end{array}\)

Gọi E là trung điểm của CD, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} CD \bot OE\\ CD \bot SO \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SOE) \Rightarrow (SOE) \bot (SCD) \Rightarrow IM \subset (SOE).\)

Trong (SOE) kẻ OH∥IM⇒OH⊥SE.

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {SE = \sqrt {S{C^2} - C{E^2}} = \sqrt {2{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}}\\ {SO = \sqrt {S{E^2} - O{E^2}} = \sqrt {\frac{{7{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}}\\ {\frac{{SM}}{{SH}} = \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{4}{5}}\\ {\frac{{SH}}{{SE}} = \frac{{S{O^2}}}{{S{E^2}}} = \frac{{6{a^2}}}{4}:\frac{{7{a^2}}}{4} = \frac{6}{7}}\\ { \Rightarrow \frac{{SM}}{{SE}} = \frac{{SM}}{{SH}}.\frac{{SH}}{{SE}} = \frac{4}{5}.\frac{6}{7} = \frac{{24}}{{35}} \Rightarrow \frac{{ME}}{{SE}} = \frac{{11}}{{35}}} \end{array}\)

Ta có:

\( SM \cap \left( {ABCD} \right) = E \Rightarrow \frac{{d\left( {M;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{{ME}}{{SE}} = \frac{{11}}{{35}}\)

Vậy:

\( \frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{{V_{M.ACD}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}.d\left( {M;\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ACD}}}}{{\frac{1}{3}.d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABCD}}}} = \frac{{11}}{{35}}.\frac{1}{2} = \frac{{11}}{{70}}\)