Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy nằm trong hình vuông ABCD. Biết rằng SA và SC tạo với đáy các góc bằng nhau, góc giữa SB và đáy bằng 450, góc giữa SD và đáy bằng \(\alpha\) với \( \tan \alpha = \frac{1}{3}\). Tính thể tích khối chóp đã cho
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).
Khi đó, \( \widehat {SAH} = \widehat {SCH}\) vì hai góc này lần lượt là góc tạo bởi SA,SC với mặt phẳng đáy.
\( \widehat {SBH} = {45^0},\tan \widehat {SDH} = \frac{1}{3}\)
Tam giác ΔSAH=ΔSCH⇒HA=HC ⇒ H nằm trên trung trực của AC.
Mà BD là đường trung trực của AC nên H∈BD
Lại có:
\(\begin{array}{l} \widehat {SBH} = {45^0} \Rightarrow HB = HS,\tan \widehat {SDH} = \frac{1}{3} = \frac{{SH}}{{HD}}\\ \Rightarrow \frac{{HB}}{{HD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{HB}}{{BD}} = \frac{1}{4} \end{array}\)
Mà \( BD = a\sqrt 2 \Rightarrow HB = \frac{{a\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
Vậy \( {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{4}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Đáp án cần chọn là: D
