Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm \(f^{\prime}(x)\). Hàm số \(y=f^{\prime}(x)\) liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:
Biết rằng \(f(-1)=\frac{10}{3}, f(2)=6\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x)=f^{3}(x)-3 f(x)\) trên đoạn \([-1 ; 2]\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Xét hàm số } g(x)=f^{3}(x)-3 f(x) \text { trên đoạn }[-1 ; 2]\\ g^{\prime}(x)=3\left[f^{2}(x)-1\right] \cdot f^{\prime}(x), g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} f^{\prime}(x)=0 \\ f^{2}(x)=1 \end{array}\right.\\ \text { Từ bảng biến thiên, ta có: }(1) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=-1 \in[-1 ; 2] \\ x=2 \in[-1 ; 2] \end{array}\right. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \text { Và } f^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in[-1 ; 2] \text { nên } f(x) \text { đồng biến trên }[-1 ; 2] \Rightarrow f(x) \geq f(-1)=\frac{10}{3}\\ \Rightarrow f(x)>1 \Rightarrow f^{2}(x)>1, \forall x \in[-1 ; 2] \text { nên } \text { (2) vô nghiệm. } \end{array}\)
\(\text { Do đó, } g^{\prime}(x)=0 \text { chỉ có } 2 \text { nghiệm là } x=-1 \text { và } x=2 \text { . }\)
\(\begin{array}{l} \text { Ta có } g(-1)=f^{3}(-1)-3 f(-1)=\left(\frac{10}{3}\right)^{3}-3\left(\frac{10}{3}\right)=\frac{730}{27} ; g(2)=f^{3}(2)-3 f(2)=(6)^{3}-3(6)=198 \text { . } \\ \text { Vậy } \min\limits _{[-1 ; 2]} g(x)=g(-1)=\frac{730}{27} \text { . } \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
\(\text{Tìm giá trị lớn nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{4x - 7}}{x}\text{ trên đoạn } \left[ {1;3} \right]\)
-
Cho hàm số \(y=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}\) . Khẳng định nào sau đây sai ?
-
Hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x+1\) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [1;3] tại điểm có hoành độ lần lượt là \(x_{1} ; x_{2}\) Khi đó tổng \(x_{1} + x_{2}\) bằng
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {4x – {x^2}} \right) + \frac{1}{3}{x^3} – 3{x^2} + 8x + \frac{1}{3}\) trên đoạn \(\left[ {1\,;\,3} \right]\).
.png)
-
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình dưới. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(-2 x) \text { trên }\left[-1 ; \frac{1}{2}\right]\) Giá trị m+M bằng
-
Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y=-3+\sqrt{4-x^{2}}\) lần lượt là:
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2 \cos ^{2} x+4 \cos x\)
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{-x^{2}+6 x-5}\) trên đoạn [1;5] lần lượt là:
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=5 \cos x-\cos 5 x \text { với } x \in\left[-\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4}\right]\) là:
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=2 \sin ^{2} x+2 \sin x-1\) bằng
-
Hàm số \(y=\sqrt{3} \sin x+\cos x\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lần lượt là:
-
Hàm số \(y=-9 \sin x-\sin 3 x\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([0 ; \pi]\) lần lượt là:
-
Hàm số \(y=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 0; 4] lần lượt là:
-
Một nhà sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000 cm3. Biết rằng bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất có giá trị là a. Hỏi giá trị a gần với giá trị nào nhất dưới đây?
-
Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x + {m^2} + m}}{{x – 1}}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để \(A + B = \frac{{13}}{2}\).
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{x^{2}-8 x+7}{x^{2}+1}\) là
-
Hàm số \(y=\frac{1}{x^{2}+1}\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét trên tập xác định của hàm số. Hãy chọn khẳng định đúng ?
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 8{x^2} + 16x – 9\) trên đoạn \(\left[ {1;\,3} \right]\) là
-
Cho hàm số y =f(x) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{7}{2}\right]\) có đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ sau:
Hàm số y=f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left[0 ; \frac{7}{2}\right]\) tại điểm x0 nào dưới đây?
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}}\) trên đoạn [0; 2]
