Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km . Khoảng cách từ B đến A là 4 . Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD , còn đặt dưới đất mất 3000 USD . Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi x là khoảng cách từ A đến S \((0 \leq x \leq 4)\) ,
ta có \(B S=4-x, C S=\sqrt{(4-x)^{2}+1}=\sqrt{x^{2}-8 x+17}\) .
Chi phí cho đường dây diện là \(y=3000 x+5000 \sqrt{x^{2}-8 x+17}\) .
Muốn ít tốn kém chi phí nhất ta cần tìm x để \(y_{\min }\) .
Xét hàm số \(y=3000 x+5000 \sqrt{x^{2}-8 x+17} \text { với } x \in[0,4]\).
Ta có
\(y^{\prime}=3000+\frac{5000(2 x-8)}{2 \sqrt{x^{2}-8 x+17}}=\frac{1000\left(3 \sqrt{x^{2}-8 x+17}+5 x-20\right)}{\sqrt{x^{2}-8 x+17}}\)
\(y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 3 \sqrt{x^{2}-8 x+17}=20-5 x\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x \leq 4 \\ 9 x^{2}-72 x+153=400-200 x+25 x^{2} \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x \leq 4 \\ 16 x^{2}-128 x+247=0 \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x \leq 4 \\ x=\frac{19}{4}(\text { loại }) \\ x=\frac{13}{4}(\text { nhận }) \end{array}\right.\)
Mà \(y(0)=5000 \sqrt{17}, y(4)=17000, y\left(\frac{13}{4}\right)=16000\)
Suy ra \(\min _{[0,4]} y=16000 \text { khi } x=\frac{13}{4} \mathrm{km}\)
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số y = x8 + (x4 – 1) 2 + 5 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;2] lần lượt tại hai điểm có hoành độ x1; x2. Khi đó tích x1.x2 có giá trị bằng:
-
Cho một tấm nhốm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng x + y để dịnh tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị của hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây.
.jpg.png)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) – {\left( {x + 1} \right)^2}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{\ln ^{2} x}{x}\) trên đoạn \(\left[1 ; e^{3}\right]\) là :
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x – {m^2}}}{{x + 8}},\) với m là tham số. Giá trị lớn nhất của m để \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = – 2\) là
-
Cho hàm số y =f(x)liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn [-1; 3] như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Hàm số \(y = 4\sqrt {{x^2} – 2x + 3} + 2x – {x^2}\) đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị x mà tích của chúng là:
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {{x^3} - {x^2} + \left( {{m^2} + 1} \right)x - 4m - 7} \right|\) trên đoạn [0; 2], m không vượt quá 15 ?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) trên đoạn \(\left[ { – 4; – 1} \right]\) bằng.
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên \(\left[ { – 1;1} \right]\) bằng \(\sqrt 2 \).
-
Cho hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} – 9x + m\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ { – 2;0} \right]\) bằng 2, với m là tham số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 18 cm . Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
-
Tính giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x-\ln x\) trên \(\left[\frac{1}{2} ; e\right]\)
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)=\sqrt{x-2}+\sqrt{8-x}\)
-
Một trang chữ của một quyển sách tham khảo Văn học cần diện tíc 384 cm2 . Biết rằng trang giấy được canh lề trái là 2 cm , lề phải là 2 cm , lề trên 3 cm và lề dưới là 3 cm . Tìm chiều dài và chiều rộng của trang sách để trang sách có diện tích nhỏ nhất
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{4x - 7}}{x}\text{ trên đoạn } \left[ { - 5; - 1} \right]\)
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x^{2}-2 x+3}{x-1}\) trên đoạn [2;4] là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) như hình vẽ bên dưới
.jpg.png)
Đặt \(M = \max f\left( {\sqrt {4 – {x^2}} } \right),m = \min f\left( {\sqrt {4 – {x^2}} } \right)\). Tổng M + m bằng
-
Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y=\sin ^{4} x-4 \sin ^{2} x+5\) là:
-
Một con cá bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km, vận tốc nước là 6(km/h). Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: E(v) = c.v3.t, trong đó c là hằng số, E tính bằng Jun. Hỏi vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên sao cho năng lượng tiêu hao ít nhất là bao nhiêu ?
