Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn \(a+b=10\). Gọi m,n là hai nghiệm của phương trình \(\left( {{\log }_{a}}x \right)\left( {{\log }_{b}}x \right)-2{{\log }_{a}}x-3=0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=mn\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình tương đương với
\(\left( {{\log }_{a}}x \right)\left( {{\log }_{b}}a.{{\log }_{a}}x \right)-2{{\log }_{a}}x-3{{\log }_{b}}x-1=0\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a{{\left( {{\log }_{a}}x \right)}^{2}}-2{{\log }_{a}}x-3=0\).
Theo Vi-ét ta có
\({{\log }_{a}}m+{{\log }_{a}}n=\frac{2}{{{\log }_{b}}a}=2{{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}{{b}^{2}}\Leftrightarrow {{\log }_{a}}\left( mn \right)={{\log }_{a}}{{b}^{2}}\Leftrightarrow mn={{b}^{2}}\).
Vậy \(P={{b}^{2}}-9a={{b}^{2}}+9\left( 10-b \right)={{\left( b-\frac{9}{2} \right)}^{2}}+\frac{279}{4}\ge \frac{279}{4}\).
Dấu bằng đạt được tại \(b=\frac{9}{2},a=\frac{11}{2}\).
