Tìm \(m\) để phương trình : \(\left( m-1 \right)\log _{\frac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{x-2}+4m-4=0\)có nghiệm trên \(\left[ \frac{5}{2},4 \right]\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t={{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-2 \right)\). Do \(x\in \left[ \frac{5}{2};4 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]\)
\(4\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4(m-5)t+4m-4=0\)
\(\Leftrightarrow \left( m-1 \right){{t}^{2}}+\left( m-5 \right)t+m-1=0\)
\(\Leftrightarrow m\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)={{t}^{2}}+5t+1\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}\)
\(\Leftrightarrow g\left( m \right)=f\left( t \right)\)
Xét \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}\) với \(t\in \left[ -1;1 \right]\)
\({f}'\left( t \right)=\frac{4-4{{t}^{2}}}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}\ge 0\)\(\forall t\in \left[ -1;1 \right]\)\(\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\)
Để phương trình có nghiệm khi hai đồ thị \(g\left( m \right);f\left( t \right)\) cắt nhau \(\forall t\in \left[ -1;1 \right]\)\(\Rightarrow f(-1)\le g\left( m \right)\le f\left( 1 \right)\Leftrightarrow -3\le m\le \frac{7}{3}\)
