Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 1 - \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x\) trên R
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {y = 1 - \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x}\\ { \Leftrightarrow y - 1 = - \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x}\\ { \Leftrightarrow \frac{{y - 1}}{2} = - \frac{1}{2}\sin 3x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 3x}\\ { \Leftrightarrow \frac{{y - 1}}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3}\sin 3x + \sin \frac{{2\pi }}{3}\cos 3x}\\ { \Leftrightarrow \frac{{y - 1}}{2} = \sin \left( {3x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \end{array}\)
Nhận xét: \(- 1 \le \sin \left( {3x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) \le 1\) do đó \( - 1 \le \frac{{y - 1}}{2} \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le y - 1 \le 2 \Leftrightarrow - 1 \le y \le 3.\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} {y_{\min }} = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 3x + \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{\pi }{2} + 2k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{{7\pi }}{{18}} + \frac{{2k\pi }}{3}.\\ {y_{\max }} = 3 \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow 3x + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{18}} + \frac{{2k\pi }}{3}. \end{array}\)