Cho phương trình \(2{{\log }_{3}}\left( \operatorname{cotx} \right)={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)\). Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên khoảng \(\left( \frac{\pi }{6};\frac{9\pi }{2} \right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện \(\sin x>0,\cos x>0\).
Đặt \(u={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)\) khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} {\cot ^2}x = {3^u}\\ \cos x = {2^u} \end{array} \right.\)
Vì \({{\cot }^{2}}x=\frac{{{\cos }^{2}}x}{1-{{\cos }^{2}}x}\) suy ra \(\frac{{{\left( {{2}^{u}} \right)}^{2}}}{1-{{\left( {{2}^{u}} \right)}^{2}}}={{3}^{u}}\Leftrightarrow f\left( u \right)={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{u}}+{{4}^{u}}-1=0\)
\(f'\left( u \right)={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{u}}\ln \left( \frac{4}{3} \right)+{{4}^{u}}\ln 4>0,\forall u\in \mathbb{R}\). Suy ra hàm số f(u) đồng biến trên R, suy ra phương trình \(f\left( u \right)=0\) có nhiều nhất một nghiệm, ta thấy \(f\left( -1 \right)=0\) suy ra \(\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
Theo điều kiện ta đặt suy ra nghiệm thỏa mãn là \(x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \). Khi đó phương trình nằm trong khoảng \(\left( \frac{\pi }{6};\frac{9\pi }{2} \right)\) là \(x=\frac{\pi }{3},x=\frac{7\pi }{3}\).
Vậy phương trình có hai nghiệm trên khoảng \(\left( \frac{\pi }{6};\frac{9\pi }{2} \right)\).
