Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1−3| = 2 và z2 = iz1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z1−z2|.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \({z_1} = x + iy,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x,y \in R\). Khi đó điểm biểu diễn số phức z1 là M(x;y) thỏa mãn \(\left| {x + iy - 3} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\) do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z1 là đường tròn tâm I(3;0) bán kính R = 2.
Ta có \({z_2} = i{z_1} = i\left( {x + iy} \right) = - y + ix\). Khi đó điểm biểu diễn số phức z2 là N(−y;x).
Ta có \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {ON} } \right| = \left| {\overrightarrow {NM} } \right| = MN\)
Nhận thấy \(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = 0\) và OM=ON do đó tam giác MON vuông cân tại O.
\(MN = OM\sqrt 2 \) nên MNMN nhỏ nhất ⇔ OM nhỏ nhất ⇔ M ≡ M′ ⇔ M ≡ M′ (M′ là giao điểm của OI với đường tròn về phía bên trái như hình vẽ). Tức là M(1;0). Khi đó \(MN = \sqrt 2 OM = \sqrt 2 .1 = \sqrt 2 .\)
.png)
