Biết số phức z = x + yi (x; y thuộc R) thỏa mãn điều kiện |z - 2 - 4i| =|z - 2i| đồng thời có môđun nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức M = x2+y2
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{array}{l} \left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right| \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 20 = {x^2} + {y^2} - 4y + 4 \Rightarrow y = 4 - x. \end{array}\)
Khi đó
\( \left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {4 - x} \right)}^2}} = \sqrt {2{x^2} - 8x + 16} = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 .\)
Vậy môđun nhỏ nhất của z là 2√2. Xảy ra ⇔ x=y=2 ⇒M=8.
