Cho biết \(\cos \alpha+\sin \alpha=\frac{1}{3}\) Giá trị của \(P=\sqrt{\tan ^{2} \alpha+\cot ^{2} \alpha}\) bằng bao nhiêu ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\cos \alpha+\sin \alpha=\frac{1}{3} \rightarrow(\cos \alpha+\sin \alpha)^{2}=\frac{1}{9}\)
\(\Leftrightarrow 1+2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{1}{9} \Leftrightarrow \sin \alpha \cos \alpha=-\frac{4}{9}\)
Ta có:
\(P=\sqrt{\tan ^{2} \alpha+\cot ^{2} \alpha}=\sqrt{(\tan \alpha+\cot \alpha)^{2}-2 \tan \alpha \cot \alpha}=\sqrt{\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^{2}-2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}\right)^{2}-2}=\sqrt{\left(\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}\right)^{2}-2}=\sqrt{\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}-2}=\frac{7}{4}\)
