\(\text { Cho } \triangle A B C \text { có: } \cot ^{2} \frac{A}{2}+\cot ^{2} \frac{B}{2}+\cot ^{2} \frac{C}{2}=9\). Tam giác ABC là tam giác:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTheo định lý hàm cosin ta có:
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cdot \cos A \geq 2 b c-2 b c \cos A=4 b c \cdot \sin ^{2} \frac{A}{2} \Rightarrow \frac{1}{\sin ^{2} \frac{A}{2}} \geq \frac{4 b c}{a^{2}} \Rightarrow \cot ^{2} \frac{A}{2} \geq \frac{4 b c}{a^{2}}-1\)
\(\begin{aligned} &\text { Chứng minh tương tự ta có: } \cot ^{2} \frac{B}{2} \geq \frac{4 a c}{b^{2}}-1 ; \cot ^{2} \frac{C}{2} \geq \frac{4 b c}{c^{2}}-1 \text { . }\\ &\text { Do đó: } \cot ^{2} \frac{A}{2}+\cot ^{2} \frac{B}{2}+\cot ^{2} \frac{C}{2} \geq \frac{4 b c}{a^{2}}+\frac{4 a c}{b^{2}}+\frac{4 a b}{c^{2}}-3 \geq 3 \sqrt[3]{\frac{4 b c}{a^{2}} \cdot \frac{4 a c}{b^{2}} \cdot \frac{4 a b}{c^{2}}}-3=9 \end{aligned}\)
\(\text { Dấu "=" xảy ra } \Leftrightarrow \triangle A B C \text { đều. }\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho tam giác ABC với \(\hat A=60^{\circ}\) , tìm tổng \((\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C})+(\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{C A})\)
-
Tam giác ABC có \(A B=5, B C=7, C A=8\) . Số đo góc A bằng:
-
Điều kiện để tam giác ABC vuông là:
-
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 600 . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây?
-
\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {4; - 5} \right);\overrightarrow b =\left( {m + 1;3} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)
-
Biểu thức nào sau đây có giá trị không phụ thuộc vào x.
-
Hình bình hành ABCD có \( AB = a,BC = a\sqrt 2 ,\widehat {BAD} = {45^0}\). Diện tích hình bình hành bằng:
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=11 ; B C= 8; C A=15. \text{ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R tam giác ABC.}\)
-
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với \(A(2;4);B(3;1);C( - 1;1)\). Tìm trực tâm H.
-
Tìm trọng tâm G của tam giác ABC có \(A(2;1), B(0;5), C(-5;-10)\).
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=11 ; B C= 9; C A=6. \text{ Tính số đo của } \hat{A}\)
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có \(A(1 ; 3), B(-2 ; 4), C(5 ; 3)\) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác đã cho.
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=9 ; B C= 5; C A=6. \text{ Tính độ dài đường cao AH?}\)
-
\(\text { Cho biết } \sin \frac{\alpha}{3}=\frac{3}{5} \text {. Giá trị của } P=3 \sin ^{2} \frac{\alpha}{3}+5 \cos ^{2} \frac{\alpha}{3} \text { bằng bao nhiêu? }\)
-
\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {2;3} \right);\overrightarrow b =\left( {4 - m;1} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=\sqrt{3}+1 ; B C= \sqrt{6} ; C A=2. \text{ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R tam giác ABC.}\)
-
\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {3 + m;4m} \right);\overrightarrow b =\left( {1;3} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)
-
Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. Lấy M;N;P lần lượt nằm trên ba cạnh BC;CA;AB sao cho \(B M=a, C N=2 a, A P=x(x>0)\). \(\text { Tìm } x \text { để } A M \text { vuông góc với } N P \text { . }\)
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=\sqrt{3}+1 ; B C= \sqrt{6} ; C A=2. \text{ Tính độ dài đường cao CF?}\)
-
\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( { - m + 3;1} \right);\overrightarrow b =\left( {2;5} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)
