\(\text { Cho } \triangle A B C \text { có: } \cot ^{2} \frac{A}{2}+\cot ^{2} \frac{B}{2}+\cot ^{2} \frac{C}{2}=9\). Tam giác ABC là tam giác:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTheo định lý hàm cosin ta có:
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cdot \cos A \geq 2 b c-2 b c \cos A=4 b c \cdot \sin ^{2} \frac{A}{2} \Rightarrow \frac{1}{\sin ^{2} \frac{A}{2}} \geq \frac{4 b c}{a^{2}} \Rightarrow \cot ^{2} \frac{A}{2} \geq \frac{4 b c}{a^{2}}-1\)
\(\begin{aligned} &\text { Chứng minh tương tự ta có: } \cot ^{2} \frac{B}{2} \geq \frac{4 a c}{b^{2}}-1 ; \cot ^{2} \frac{C}{2} \geq \frac{4 b c}{c^{2}}-1 \text { . }\\ &\text { Do đó: } \cot ^{2} \frac{A}{2}+\cot ^{2} \frac{B}{2}+\cot ^{2} \frac{C}{2} \geq \frac{4 b c}{a^{2}}+\frac{4 a c}{b^{2}}+\frac{4 a b}{c^{2}}-3 \geq 3 \sqrt[3]{\frac{4 b c}{a^{2}} \cdot \frac{4 a c}{b^{2}} \cdot \frac{4 a b}{c^{2}}}-3=9 \end{aligned}\)
\(\text { Dấu "=" xảy ra } \Leftrightarrow \triangle A B C \text { đều. }\)
