Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho \(A M=\frac{A C}{4}\). Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính \(\overrightarrow{M B} \cdot \overrightarrow{M N}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ \(\overrightarrow{M B}, \overrightarrow{M N}\) theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.
Ta có:
\(\begin{array}{l} + \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}-\frac{1}{4}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A D} \\ + \overrightarrow{M N}=\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D N}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A D}+\frac{1}{2} \overrightarrow{D C}-\frac{1}{4}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}) \\ =\overrightarrow{A D}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{4}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})=\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}+\frac{1}{4} \overrightarrow{A B} \end{array}\)
Suy ra
\(\overrightarrow{M B} \cdot \overrightarrow{M N}=\left(\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A D}\right)\left(\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}+\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}\right)=\frac{1}{16}\left(9 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}+3 \overrightarrow{A B}^{2}-3 \overrightarrow{A D}^{2}-\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B}\right)\)
\(=\frac{1}{16}\left(0+3 a^{2}-3 a^{2}-0\right)=0\)