\(\begin{aligned} &\text { Biết } \sin x+\cos x=m. \operatorname{Tìm} \left|\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\right| \end{aligned}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có }(\sin x+\cos x)^{2}=\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x+\cos ^{2} x=1+2 \sin x \cos x\left(^{*}\right)\\ &\text { Mặt khác } \sin x+\cos x=m \text { nên } m^{2}=1+2 \sin x \cos x \text { hay } \sin x \cos x =\frac{m^{2}-1}{2}\\ &\text { Đặt } A=\left|\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\right| \text {. Ta có }\\ &A=\left|\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)\right|=|(\sin x+\cos x)(\sin x-\cos x)|\\ &\Rightarrow A^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}(\sin x-\cos x)^{2}=(1+2 \sin x \cos x)(1-2 \sin x \cos x)\\ &\Rightarrow A^{2}=\left(1+\frac{m^{2}-1}{2}\right)\left(1-\frac{m^{2}-1}{2}\right)=\frac{3+2 m^{2}-m^{4}}{4}\\ &\text { Vậy } A=\frac{\sqrt{3+2 m^{2}-m^{4}}}{2} \end{aligned}\)
