Cho tứ giác ABCD có \(A B^{2}+C D^{2}=B C^{2}+A D^{2}\). Tính góc giữa hai đường thẳng AC và B
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &A B^{2}+C D^{2}=B C^{2}+A D^{2} \\ &\Leftrightarrow \overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{C D}^{2}=\overrightarrow{B C}^{2}+\overrightarrow{A D}^{2} \\ &\Leftrightarrow \overrightarrow{A B}^{2}-\overrightarrow{A D}^{2}+\overrightarrow{C D}^{2}-\overrightarrow{B C}^{2}=0 \\ &\Leftrightarrow(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D})(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})+(\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{B C})(\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C})=0 \\ &\Leftrightarrow \overrightarrow{D B}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})+(\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{B C}) \overrightarrow{B D}=0 \\ &\Leftrightarrow \overrightarrow{D B}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C})=0 \\ &\Leftrightarrow \overrightarrow{D B}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D C})=0 \\ &\Leftrightarrow \overrightarrow{D B} \cdot 2 \overrightarrow{A C}=0 \\ &\Leftrightarrow D B \perp A C . \end{aligned}\)
Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng \(90^{\circ} .\)