\(\text { Cho hình vuông } A B C D \text { cạnh a. Tính } P=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{B A}) \text {. }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có }\left\{\begin{array}{l} B D=a \sqrt{2} \\ \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{B A}=(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A})+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{B D} \cdot \end{array}\right. \end{aligned}\)
\(\text { Khi đó } P=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \cdot 2 \overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B D}+2 \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=-2 \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B D}+0 \)
\(=-2 \cdot B A \cdot B D \cos (\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B D})=-2 \cdot a \cdot a \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-2 a^{2}\)