Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + z - 1 = 0\); \(\left( Q \right):\,\,x - 2y + z + 8 = 0;\,\,\left( R \right):\,\,x - 2y + z - 4 = 0\). Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right),\,\,\left( R \right)\) lần lượt tại A, B, C. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T = A{B^2} + \dfrac{{144}}{{A{C^2}}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDễ dàng nhận thấy \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\parallel \left( R \right)\).
Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng (P), (Q), (R), cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.
Ta có \(BH = d\left( {\left( Q \right);\left( P \right)} \right) = 9;\,\,\,HK = d\left( {\left( P \right);\left( R \right)} \right) = 3\)
Khi đó ta có: \(T = A{B^2} + \dfrac{{144}}{{A{C^2}}} \ge 2\sqrt {A{B^2}.\dfrac{{144}}{{A{C^2}}}} = 24\dfrac{{AB}}{{AC}} = 24.\dfrac{{BH}}{{HK}} = 24.\dfrac{9}{3} = 72\).
Vậy \({T_{\min }} = 72\).
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Trần Khai Nguyên