Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = {x^3} - 2x\;\;\forall x \in R\) và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 2.\) Tính giá trị của \(T = {f^2}\left( 2 \right).\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(VT = \left[ {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right]' = f'\left( x \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right).f''\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]' = {x^3} - 2x\;\;\;\left( * \right)\)
Nguyên hàm hai vế của \(\left( * \right)\) ta được: \(f'\left( x \right).f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + C.\;\;\left( 1 \right)\)
Lại có: \(f'\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2.2 = 4.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right).f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + 4\\ \Rightarrow \int {f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = \int {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + 4} \right)} } dx \Leftrightarrow \int {f\left( x \right)df\left( x \right) = \dfrac{{{x^5}}}{{20}} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + 4x + A} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \dfrac{{{x^5}}}{{20}} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + 4x + A \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = \dfrac{{{x^5}}}{{10}} - \dfrac{{2{x^3}}}{3} + 8x + 2A.\end{array}\)
Có \(f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow 4 = 2A \Leftrightarrow A = 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = \dfrac{{{x^5}}}{{10}} - \dfrac{{2{x^3}}}{3} + 8x + 4\\ \Rightarrow {f^2}\left( 2 \right) = \dfrac{{{2^5}}}{{10}} - \dfrac{{{{2.2}^3}}}{3} + 8.2 + 4 = \dfrac{{268}}{{15}}.\end{array}\)
Chọn A.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy hình trụ, \(AB = 4a;\,\,AC = 5a\). Tính thể tích khối trụ:
-
Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng:
-
Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào ?
.JPG)
-
Cho hai góc nhọn a và b thỏa mãn \(\tan a = \dfrac{1}{7}\) và \(\tan b = \dfrac{3}{4}\). Tính \(a + b\).
-
Một khối trụ có thiết diện qua một trục là một hình vuông. Biết diện tích xung quanh của khối trụ bằng \(16\pi \). Thể tích \(V\) của khối trụ bằng:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số: \(y = {x^8} + \left( {m + 1} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 1} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 0?\)
-
Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình \({2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4.\)
-
Cho biết hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và có một nguyên hàm là \(F\left( x \right).\) Tìm \(\int {\left[ {2f\left( x \right) + f'\left( x \right) + 1} \right]dx?} \)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[ { - 2018;2018} \right]\) để phương trình \({\left( {x + 2 - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2} + \dfrac{{18\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 2 + \sqrt {{x^2} + 1} }} = m\left( {{x^2} + 1} \right)\) có nghiệm thực?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình \(\log \left( {2{x^2} + 3} \right) < \log \left( {{x^2} + mx + 1} \right)\) có tập nghiệm là \(R.\)
-
Cho tứ diện ABCD có \(\left( {ACD} \right) \bot \left( {BCD} \right),\,\,AC = AD = BC = BD = a,\,\,CD = 2x\). Giá trị của x để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau là:
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^3} + x - 1\) là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết \(AB = 2AD = 2DC = 2a\), góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là \({60^0}\). Độ dài cạnh SA là:
-
Với \(a\) và \(b\) là hai số thực dương, \(a \ne 1.\) Giá trị của \({a^{{{\log }_a}{b^3}}}\) bằng:
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + z - 1 = 0\); \(\left( Q \right):\,\,x - 2y + z + 8 = 0;\,\,\left( R \right):\,\,x - 2y + z - 4 = 0\). Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right),\,\,\left( R \right)\) lần lượt tại A, B, C. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T = A{B^2} + \dfrac{{144}}{{A{C^2}}}\).
-
Gọi A, B lần lượt là các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x + {m^2} + 2m}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ {3;4} \right]\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để \(A + B = \dfrac{{19}}{2}\).
-
Trên đồ thị \(\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}\) có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại M song song với đường thẳng \(d:\,\,x + y = 1\).
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = {2^{{x^2} - 1}}\) có đúng bốn nghiệm phân biệt.
-
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \dfrac{{4x + 7}}{{{{\log }_{2018}}\left( {{x^2} - 2x + {m^2} - 6m + 10} \right)}}\) xác định với mọi \(x \in R\) là:
-
Cho khối nón có bán kính đáy là \(r\) , chiều cao \(h\) . Thể tích \(V\) của khối nón đó là:
