Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(y' = {x^2} - 3x + {m^2} + 5m + 6.\) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên \(\left( {3;\;5} \right).\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiHàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {3;\;5} \right) \Leftrightarrow y' > 0\;\;\forall x \in \left( {3;\;5} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + {m^2} + 5m + 6 \ge 0\;\;\forall x \in \left( {3;\;5} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x \ge - {m^2} - 5m - 6\;\;\forall x \in \left( {3;\;5} \right)\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \(g\left( x \right) = {x^2} - 3x\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge - {m^2} - 5m - 6\;\;\forall x \in \left( {3;\;5} \right)\\ \Rightarrow - {m^2} - 5m - 6 \le \mathop {\min }\limits_{\left( {3;\;5} \right)} g\left( x \right).\end{array}\)
Khảo sát hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} - 3x\) ta được:
\( \Rightarrow - {m^2} - 5m - 6 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 5m + 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge - 2\\m \le - 3\end{array} \right.\)
Chọn B.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Trần Khai Nguyên