Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = {2^{{x^2} - 1}}\) có đúng bốn nghiệm phân biệt.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right) = 49 - 45 = 4\) \( \Rightarrow 7 + 3\sqrt 5 = \dfrac{4}{{7 - 3\sqrt 5 }}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \;{\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = {2^{{x^2} - 1}}\\ \Leftrightarrow \;{\left( {\dfrac{4}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = \dfrac{1}{2}{.2^{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {2.2^{2{x^2}}} - {2^{{x^2}}}.{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^2} + 2m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{2{x^2}}} = 0\;\\ \Leftrightarrow 2.{\left( {\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{2{x^2}}} - {\left( {\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} + 2m = 0\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \({\left( {\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} = t\; \Rightarrow {x^2} = {\log _{\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}}}t.\)
Ta có: \(0 < \dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }} < 1 \Rightarrow {\log _{\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}}}t > 0 \Leftrightarrow 0 < t < 1.\)
\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 2{t^2} - t + 2m = 0\;\;\left( 1 \right)\)
Để phương trình \(\left( * \right)\) có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow pt\;\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(t \in \left( {0;\;1} \right).\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\af\left( 0 \right) > 0\\af\left( 1 \right) > 0\\0 < - \dfrac{b}{{2a}} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 16m > 0\\4m > 0\\2\left( {2m + 1} \right) > 0\\0 < \dfrac{1}{2} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{1}{{16}}\\m > 0\\m > - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{1}{{16}}.\)
Chọn A.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Xác định các hệ số \(a,\;b,\;c\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax - 1}}{{bx + c}}\) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên:
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^3} + x - 1\) là:
-
Cho khối nón có bán kính đáy là \(r\) , chiều cao \(h\) . Thể tích \(V\) của khối nón đó là:
-
Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình \(\log \left( {2{x^2} + 3} \right) < \log \left( {{x^2} + mx + 1} \right)\) có tập nghiệm là \(R.\)
-
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 6\sqrt {{x^2} - 6x + 12} + 6x - {x^2} - 4\). Tính tích các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = M\).
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số: \(y = {x^8} + \left( {m + 1} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 1} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 0?\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(y' = {x^2} - 3x + {m^2} + 5m + 6.\) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên \(\left( {3;\;5} \right).\)
-
Công thức nào sau đây là sai?
-
Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left| x \right|.\) Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
-
Một hình lăng trụ tam giác đều có nhiêu mặt phẳng đối xứng?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( {2;\;1; - 3} \right)\) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):\;x + y + 3z = 0,\;\;\left( R \right):\;\;2x - y + z = 0\) là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết \(AB = 2AD = 2DC = 2a\), góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là \({60^0}\). Độ dài cạnh SA là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = {x^3} - 2x\;\;\forall x \in R\) và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 2.\) Tính giá trị của \(T = {f^2}\left( 2 \right).\)
-
Cho khối chóp \(SABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(\dfrac{a}{{\sqrt 2 }},\;\;\Delta SAC\) vuông tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên \(SA\) tạo với đáy góc \({60^0}.\) Tính thể tích \(V\)của khối chóp \(SABCD.\)
-
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của SA, N là hình chiếu vuông góc của A lên SO. Mệnh đề nào sau đây đúng?
.JPG)
-
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 1\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 5.\) Khi đó phương trình \(F\left( x \right) = 5\) có số nghiệm thực là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có \(SC = x\,\,\left( {0 < x < a\sqrt 3 } \right)\), các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{a\sqrt m }}{n}\,\,\left( {m,n \in {N^*}} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Với \(a\) và \(b\) là hai số thực dương, \(a \ne 1.\) Giá trị của \({a^{{{\log }_a}{b^3}}}\) bằng:
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AD \bot \left( {ABC} \right),\;ABC\) có tam giác vuông tại \(B.\) Biết \(BC = 2a,\;\;AB = 2a\sqrt 3 ,\;\;AD = 6a.\) Quay tam giác \(ABC\) và \(ABD\) (bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng \(AB\) ta được hai khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng:
