Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 6\sqrt {{x^2} - 6x + 12} + 6x - {x^2} - 4\). Tính tích các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = M\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{align} f\left( x \right)=6\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}+6x-{{x}^{2}}-4 \\ f\left( x \right)=6\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}-\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)+8 \\ \end{align}\)
Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+3}\ge 3\), khi đó ta có \(f\left( t \right)=-{{t}^{2}}+6t+8\,\,\forall t\ge 3\).
Ta có \(f'\left( t \right)=-2t+6=0\Leftrightarrow t=3\).
BBT :
\(\begin{align} \Rightarrow \underset{\left[ 3;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=17\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+3}=3\Leftrightarrow x=3 \\ \Rightarrow \max f\left( x \right)=17=M\Leftrightarrow x=3 \\ \end{align}\)
Vậy phương trình \(f\left( x \right)=M\) có nghiệm duy nhất \(x=3\), do đó tích các nghiệm của chúng bằng 3.
Chọn B.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Trần Khai Nguyên