Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 2} \right)x - {m^2} + 3\) có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía khác nhau đối với trục hoành?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 2} \right)x - {m^2} + 3\)
TXĐ : \(D = R\).
Ta có : \(y' = 3{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2\)
Để hàm số có 2 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.
\( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 3\left( {{m^2} - 2} \right) > 0 \) \(\Leftrightarrow - 2{m^2} + 2m + 7 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \sqrt {15} }}{2} < m < \dfrac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\).
Mà \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\).
Thử lại :
+) Với \(m = - 1\) ta có \(y = {x^3} - {x^2} - x + 2\). Khi đó
\(y' = 3{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x = \dfrac{{ - 1}}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{59}}{{27}}\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\)
+) Với \(m = 0\) ta có \(y = {x^3} - {x^2} - 2x + 3\). Khi đó \(y' = 3{x^2} - 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{61 - 14\sqrt 7 }}{{27}} > 0\\x = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{61 + 14\sqrt 7 }}{{27}} > 0\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\)
+) Với \(m = 1\) ta có \(y = {x^3} - 2{x^2} - x + 2\). Khi đó \(y' = 3{x^2} - 4x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2 + \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{20 - 14\sqrt 7 }}{{27}} < 0\\x = \dfrac{{2 - \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{20 + 14\sqrt 7 }}{{27}} > 0\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
+) Với \(m = 2\) ta có \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\). Khi đó \(y' = 3{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y = - \dfrac{{9 + 2\sqrt 3 }}{9} < 0\\x = \dfrac{{3 - \sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{ - 9 + 2\sqrt 3 }}{9} < 0\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\).
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn là \(m = 1.\)
Chọn B.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có chiều cao bằng 2a. Hai đường tròn đáy của \(\left( T \right)\) có tâm lần lượt là O và \({O_1}\) và bán kính bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm \({O_1}\) lấy điểm B sao cho \(AB = \sqrt 5 a\). Thể tích khối tứ diện \(O{O_1}AB\) bằng:
-
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + 3x - 2\) đồng biến trên R là:
-
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\)là một cấp số cộng thỏa mãn \({u_1} + {u_3} = 8\) và \({u_4} = 10.\) Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(SABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\) và chiều cao bằng \(\sqrt 3 a.\) Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng:
-
Gọi \({x_1},\;{x_2}\) là hai điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} - 2x.\) Giá trị của \(x_1^2 + x_2^2\) bằng:
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 2x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\) . Hệ số góc \(k\) của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 bằng
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên
.JPG)
Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
-
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2\) là:
-
Với các số thực \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\) tùy ý, biểu thức \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right)\) bằng:
-
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\,AB = a,\,AC = 2a,\,SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a.\) Thể tích khối nón đã cho bằng
-
Cho các số thực dương \(x,\;y \ne 1\) và thỏa mãn \({\log _x}y = {\log _y}x,\;\;{\log _x}\left( {x - y} \right) = {\log _y}\left( {x + y} \right).\) Giá trị của \({x^2} + xy - {y^2}\) bằng:
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) là:
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {2 + 3i} \right)z + 4 - 3i = 13 + 4i.\) Mô đun của \(z\) bằng
-
Biết rằng tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a, b, c sao cho \(\int\limits_2^3 {\left( {4x + 2} \right)\ln xdx} = a + b\ln 2 + c\ln 3\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng:
-
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\left( {1 + i} \right)z - 5 + i} \right| = 2\) là một đường tròn tâm \(I\) và bán kính \(R\) lần lượt là:
-
Cho \(a,b\) là các số thực thỏa mãn \(a + 6i = 2 - 2bi,\) với \(i\) là đơn vị ảo. Giá trị của \(a + b\) bằng
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 8x}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {1;\;3} \right]\) bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( { - 1;2;1} \right),\,\,B\left( {2; - 1;4} \right),\,\,C\left( {1;1;4} \right)\). Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)?
-
Gieo con xúc xắc được chế tạp cân đối và đồng chất 2 lần. Gọi a là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, b là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai. Xác suất để phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) có nghiệm bằng:
-
Cho số thức \(\alpha \) sao cho phương trình \({2^x} - {2^{ - x}} = 2\cos \left( {\alpha x} \right)\) có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình \({2^x} + {2^{ - x}} = 4 + 2\cos \left( {\alpha x} \right)\) là:
