Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 2} \right)x - {m^2} + 3\) có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía khác nhau đối với trục hoành?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 2} \right)x - {m^2} + 3\)
TXĐ : \(D = R\).
Ta có : \(y' = 3{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2\)
Để hàm số có 2 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.
\( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 3\left( {{m^2} - 2} \right) > 0 \) \(\Leftrightarrow - 2{m^2} + 2m + 7 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \sqrt {15} }}{2} < m < \dfrac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\).
Mà \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\).
Thử lại :
+) Với \(m = - 1\) ta có \(y = {x^3} - {x^2} - x + 2\). Khi đó
\(y' = 3{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x = \dfrac{{ - 1}}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{59}}{{27}}\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\)
+) Với \(m = 0\) ta có \(y = {x^3} - {x^2} - 2x + 3\). Khi đó \(y' = 3{x^2} - 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{61 - 14\sqrt 7 }}{{27}} > 0\\x = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{61 + 14\sqrt 7 }}{{27}} > 0\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\)
+) Với \(m = 1\) ta có \(y = {x^3} - 2{x^2} - x + 2\). Khi đó \(y' = 3{x^2} - 4x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2 + \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{20 - 14\sqrt 7 }}{{27}} < 0\\x = \dfrac{{2 - \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{20 + 14\sqrt 7 }}{{27}} > 0\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
+) Với \(m = 2\) ta có \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\). Khi đó \(y' = 3{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y = - \dfrac{{9 + 2\sqrt 3 }}{9} < 0\\x = \dfrac{{3 - \sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{ - 9 + 2\sqrt 3 }}{9} < 0\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\).
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn là \(m = 1.\)
Chọn B.
Câu hỏi liên quan
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {2 + 3i} \right)z + 4 - 3i = 13 + 4i.\) Mô đun của \(z\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;1; - 3} \right),\,\,B\left( {0; - 2;3} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\). Xét điểm M thay đổi luôn thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\), giá trị lớn nhất của \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng:
-
Với hàm \(f\left( x \right)\) tùy ý liên tục trên \(\mathbb{R},\,a < b\) , diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị cảu hàm số \(y = f\left( x \right),\) trục hoành và các đường thẳng \(x = a,x = b\) được xác định theo công thức
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(SABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\) và chiều cao bằng \(\sqrt 3 a.\) Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng:
-
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\)là một cấp số cộng thỏa mãn \({u_1} + {u_3} = 8\) và \({u_4} = 10.\) Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên
.JPG)
Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau:
.JPG)
Hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 2x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\) . Hệ số góc \(k\) của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 bằng
-
Cho khối chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O,\;AB = a,\;\angle BAD = {60^0},\;SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) tạo với mặt đáy một góc bằng \({60^0}.\) Thể tích khối chóp đã cho bằng:
-
Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\). Xét các điểm A, B thuộc \(\left( P \right)\) sao cho tiếp tuyến tại A và B của \(\left( P \right)\) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và đường thẳng AB bằng \(\frac{9}{4}\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\) bằng:
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a.\) Gọi \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC.\) Biết \(MN = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2},\) góc giữa đường thẳng\(AB\) và \(CD\) bằng:
-
Biết rằng tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a, b, c sao cho \(\int\limits_2^3 {\left( {4x + 2} \right)\ln xdx} = a + b\ln 2 + c\ln 3\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng:
-
Cho khối trụ (T). Biết rằng một mặt phẳng chứa trục của (T) cắt (T) theo thiết diện là một hình vuông cạnh 4a. Thể tích khối trụ đã cho bằng:
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) là:
-
Cho các số thực dương \(x,\;y \ne 1\) và thỏa mãn \({\log _x}y = {\log _y}x,\;\;{\log _x}\left( {x - y} \right) = {\log _y}\left( {x + y} \right).\) Giá trị của \({x^2} + xy - {y^2}\) bằng:
-
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?
.JPG)
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 8x}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {1;\;3} \right]\) bằng:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị . Hàm số đã cho đạt cực đại tại
.JPG)
-
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( { - 1;2;1} \right),\,\,B\left( {2; - 1;4} \right),\,\,C\left( {1;1;4} \right)\). Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)?
-
Xét số phức z thỏa mãn \(\dfrac{{z + 2}}{{z - 2i}}\) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z luôn thuộc một đường tròn cố đinh. Bán kính của đường tròn đó bằng:
