Cho z là số phức thỏa mãn \(z + \frac{1}{z} = 1.\) Tính giá trị của \({z^{2017}} + \frac{1}{{{z^{2017}}}}.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(z + \frac{1}{z} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i.\sin \frac{\pi }{3}\\
z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + i.\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)
\end{array} \right.\)
TH1: Với \(z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\) thì \(\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
Khi đó: \({z^{2017}} = \cos \frac{{2017\pi }}{3} + i.\sin \frac{{2017\pi }}{3} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
và \(\frac{1}{{{z^{2017}}}} = \cos \frac{{2017\pi }}{3} - i.\sin \frac{{2017\pi }}{3} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\). Suy ra: \({z^{2017}} + \frac{1}{{{z^{2017}}}} = 1\).
TH2: Như trường hợp 1.
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(\left( { - 1 + 4i} \right)x + {\left( {1 + 2i} \right)^3}y = 2 + 9i\). Khi đó \(x\) bằng
-
Cho hai số phức \({z_1} = 1 - i\) và \({z_2} = 2 + 3i\). Tính môđun của số phức \({z_2} - i{z_1}\).
-
Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in R} \right)\) thỏa mãn \(\left( {1 + i} \right)z + 2\overline z = 3 + 2i.\) Tính \(P = a + b.\)
-
Gọi \(z_1, z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình: \({z^2} - z + 2 = 0\). Phần thực của số phức \({\left[ {\left( {i - {z_1}} \right)\left( {i - {z_2}} \right)} \right]^{2017}}\) là
-
Gọi \(z_1, z_2\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(M = \left| {z_1^2} \right| + \left| {z_2^2} \right|\)
-
Trên mặt phẳng phức, cho điểm A biểu diễn số phức \(3-2i\), điểm B biểu diễn số phức \(-1+6i\). Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó điểm M biểu diễn số phức nào sau đây?
-
Cho số phức \(z=a+bi\) với \(a, b\) là hai số thực khác 0. Một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(\bar z\) làm nghiệm với mọi \(a, b\) là:
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và điểm A trong hình vẽ bên
.png)
là điểm biểu diễn của z. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức \(w = \frac{1}{{iz}}\) là một trong bốn điểm M, N, P, Q. Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là
-
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các điểm A(4;0), B(1;4) và C(1;-1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biết rằng G là điểm biểu diễn số phức z. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Điểm biểu diễn của số phức \(z = \frac{1}{{2 - 3i}}\) trên mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm nào?
-
Kí hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \(4{z^2} - 16z + 17 = 0\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức \(w = i{z_0}\)?
-
Với cặp số thực (x;y) nào dưới đây thì \({z_1} = 9{y^2} - 4 - 10x{i^5}\) và \({z_2} = 8{y^2} + 20{i^{11}}\) là hai số phức liên hợp của nhau?
-
Cho số phức z thỏa mãn: \((3 - 2i)\overline z - 4(1 - i) = (2 + i)z\). Mô đun của z là:
-
Cho số phức z thoả: \(z(1 + 2i) = 4 - 3i\). Tìm số phức liên hợp \(\bar z\) của z
-
Gọi \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3},\,\,{z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình \({z^4} - 2{z^2} - 8 = 0\). Trên mặt phẳng tọa độ, gọi A, B, C, D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3},\,\,{z_4}\) đó. Tính giá trị của \(P = OA + OB + OC + OD\), trong đó O là gốc tọa độ.
-
Tính môđun của số phức z thỏa mãn \(z\left( {2 - i} \right) + 13i = 1\).
-
Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 1} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right)z} \right|\) là
-
Cho số phức z thỏa mãn \({\left( {1 + z} \right)^2}\) là số thực. Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là
-
Xét số phức z thỏa mãn \(\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
Gọi \(z_1, z_2\) là 2 nghiệm của phương trình \({z^2} + z + 1 = 0\). Tính giá trị \(P = {z_1}^{2017} + {z_2}^{2017}\)
